Estudo do erro na aproximação por séries de Taylor: fundamentos teóricos e aplicações práticas

Resumo

A série de Taylor é uma maneira inteligente e amplamente utilizada na análise matemática, permitindo a aproximação de funções deriváveis por meio de um somatório infinito de termos polinomiais fundada nas derivadas da função em torno de um ponto específico. No entanto, essa aproximação é substancialmente limitada pela necessidade de retirar parte dos termos da série ao incluir apenas um número finito de termos, o que gera um erro conhecido como erro de truncamento ou resto de Taylor. A presente pesquisa tem como objetivo analisar o erro associado à aproximação por séries de Taylor, com ênfase nas técnicas para sua estimativa e controle, sendo fundamentado nas contribuições teóricas presentes na obra de Djairo Guedes de Figueiredo. O estudo aborda inicialmente o desenvolvimento teórico da série de Taylor, seguido pela introdução do Teorema de Taylor com o resto de Lagrange, que fornece uma formulação precisa para o termo de erro, permitindo uma análise rigorosa da precisão da aproximação. A metodologia empregada inclui uma revisão detalhada das condições sob as quais o erro pode ser minimizado, com exemplos práticos que ilustram a aplicação do teorema a funções comuns, como as funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas. Além disso, o trabalho examina como o erro na série de Taylor afeta a precisão dos métodos numéricos, especialmente na solução de equações diferenciais e na modelagem de fenômenos físicos, onde as aproximações por séries são frequentemente aplicadas. São discutidos também os métodos para melhorar a precisão da série, como a utilização de termos de ordem superior ou técnicas de reescalonamento da função original. Os resultados obtidos demonstram que uma compreensão aprofundada do erro é crucial não apenas para a aplicação correta da série de Taylor, mas também para o desenvolvimento de métodos numéricos robustos e precisos. Conclui-se que o estudo do erro na série de Taylor é essencial para garantir a eficácia das aproximações em contextos aplicados e teóricos, contribuindo para uma melhor compreensão das limitações e potenciais dessa ferramenta matemática

Palavras-chave: Série de Taylor; Erro de Truncamento; Aproximação de Funções.